quarta-feira, 5 de setembro de 2012

Número Mágico - Demonstração

Olá amigos,

     Recentemente fiz uma postagem sobre o Número Mágico (1089) por sugestão de minha amiga Thais Frango. Agora me perguntei, porque sempre dá esse tal de 1089?



Hunnn algo a se pensar, vejamos!

  • Primeiro escolhemos um número de 3 algarismos. Como sabemos todo número de três algarismos pode ser erscrito da forma 100A + 10B + C onde A, B e C são os algarismos distintos escolhigos.
  • Ao fazer a subtração do número escolhido com o número de traz para frente estamos fazendo o seguinte:
100A + 10B + C - (100C + 10B + A)

     Como temos C < A, na subtração precisaremos do famoso "pegar emprestado". Ou seja passar ao menos 1 dezena do 10B para C. Assim, teremos:

100A + 10(B-1) + (C+10) -  (100C + 10B + A) 

      Novamente teremos que "pegar emprestado" da centena para a dezena 10(B - 1) pois 10(B - 1) é menor que 10B. E agora teremos:

(100(A - 1)  +  (10(B-1) + 100)  +  (C+10))  -  (100C + 10B - A)

Montando a "continha" teremos:

100(A - 1)  +  (10(B-1) + 100)  +  (C+10)  
                                              -  100C        -         10B                     - A        
                                              100(A - C - 1)      +    90            (C - A + 10)
  • O próximo passo é inverter os algarismos do resultado, sendo assim (A - C - 1) será trocado de posição com (C - A + 10) e depois somaremos o resultado com o número invertido. Assim:        
                      Resultado encontrado:        100(A - C - 1)      +    90      +       (C - A + 10)
   Resultado com o número invertido:    +   (C - A + 10)        +    90      +         (A - C - 1)   
                                                     100(A - C - 1 + C - A + 10)  +  180  +  (C - A + 10 + A - C - 1)

Fazendo a propriedade distributiva, teremos:

(100A - 100C - 100 + 100C - 100A + 1000) + 180 + (C - A + 10 + A - C - 1)

Simplificando teremos:

900 + 180 + 9 = 1089

Refereências Bibliográficas: http://www.mtm.ufsc.br/lemat/1089.pdf

Abraços,
Prof. Marcos Guimarães
E-mail: marcosjrguimaraes@yahoo.com.br